SDE 讨论班 Lec 01-1

参考书：《An Introduction to Statistical Differential Equations》- Evans

1.1 确定与随机微分方程

Deterministic and random differential equations

对一点 $x_0 \in \mathbb{R}$，考虑 ODE

$$(\text{ODE}) \quad \begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{b}(\mathbf{x}(t)) & (t > 0) \\ \mathbf{x}(0) = x_0, \end{cases}$$

其中，$\mathbf{b}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 是给定的光滑向量场，解是轨道 $\mathbf{x}: [0, \infty) \to \mathbb{R}^n$，称 $\mathbf{x}(t)$ 为系统在时间 $t \geq 0$ 时刻的 状态 (state of the system)。对合适的 $\mathbf{b}$，ODE 的解存在，且由初值 $x_0$ 唯一确定。

ODE轨迹示意图

但用 ODE 做预测无法刻画实际情况中的扰动，考虑将 ODE 改写为

$$(1) \quad \begin{cases} \dot{\mathbf{X}}(t) = \mathbf{b}(\mathbf{X}(t)) + \mathbf{B}(\mathbf{X}(t))\boldsymbol{\xi}(t) & (t > 0) \\ \mathbf{X}(0) = x_0, \end{cases}$$

其中，$\mathbf{B}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{M}^{n \times m}$，$\boldsymbol{\xi}(\cdot)$ 表示 $m$ 维白噪声。

这时，我们面临如下 Questions：

1. 如何定义 white noise？
2. 如何定义 $\mathbf{X}(t)$，进而解出 ODE (1)？
3. 如何证明 (1) 之解的存在性？唯一性？有何种渐近行为 (asympototic)？对 $x_0, \mathbf{b}, \mathbf{B}$ 等的依赖性如何？

1.2 随机微分

Stochastic differentials

当 $m = n$、$x_0 = 0$、$\mathbf{b} \equiv 0$ 且 $\mathbf{B} \equiv I$ 时，称 (1) 之解为 $n$ 维布朗运动 或 维纳过程 (Wiener process)，记为 $\mathbf{W}(\cdot)$，可以形式上写为

$$(2) \quad \dot{\mathbf{W}}(\cdot) = \boldsymbol{\xi}(\cdot),$$

由此表明“白噪声”实际上是布朗运动对时间导数。回到方程 (1) 的一般形式，

$$\frac{d\mathbf{X}(t)}{dt} = \mathbf{b}(\mathbf{X}(t)) + \mathbf{B}(\mathbf{X}(t))\frac{d\mathbf{W}(t)}{dt},$$

形式上可化为：

$$(\text{SDE}) \quad \begin{cases} d\mathbf{X}(t) = \mathbf{b}(\mathbf{X}(t))dt + \mathbf{B}(\mathbf{X}(t))d\mathbf{W}(t) \\ \mathbf{X}(0) = x_0. \end{cases}$$

项 $d\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{B}d\mathbf{W}$ 称为 随机微分 (Stochastic differential)，上式称为 随机微分方程 (Stochastic differential equation)，称

$$(3) \quad \mathbf{X}(t) = x_0 + \int_0^t \mathbf{b}(\mathbf{X}(s)) ds + \int_0^t \mathbf{B}(\mathbf{X}(s)) d\mathbf{W}, \ \forall t > 0.$$

为 SDE 的解。

SDE轨迹示意图

为了理解上面的式子，我们必须：

1. 构造 Brownian motion $\mathbf{W}(\cdot)$ （Chapter 3）
2. 定义随机积分 $\int_0^t \cdots d\mathbf{W}$ （Chapter 4）
3. 证明 (3) 确为 SDE 之解 （Chapter 5）

一旦上述工作均完成，仍然会存在如下 建模问题：

1. SDE 是否能真的能建模现实情形？
2. $\boldsymbol{\xi}(\cdot)$ 究竟确为白噪声，还是某种光滑但高频振荡 (oscillatory) 的函数之集 (ensemble)？（chapter 6）

1.3 伊藤链式法则

$Ito's$ $chain$ $rule$

Q：链式法则在随机微积分中是否仍然成立？

为了说明 (illustrate) 这一点，令 $n = m = 1$ 且 $X(\cdot)$ 为如下 SDE 之解：

$$(4) \quad dX = b(X)dt + dW.$$

假设 $u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 是给定的光滑函数，有 $u = u(x)$。我们要问：

$$Y(t) := u(X(t)) \quad (t \geq 0)$$

满足什么 SDE？

在一般意义下，套用普通微积分的链式法则

$$dY = u^\prime dX = u^\prime bdt + u^\prime dW,$$

然而，这在随机微积分下是 错误的！

事实上，这是因为布朗运动在某种启发式的 (heuristic) 意义下，有

$$(5) \quad dW \approx (dt)^{1/2}$$

因此，如果我们计算 $dY$ 并保留所有阶为 $dt$ 或 $(dt)^{\frac{1}{2}}$ 的项，从 (4) 可得：

$$\begin{aligned} dY &= u^\prime dX + \frac{1}{2}u^{\prime\prime}(dX)^2 + \cdots \\ &= u^\prime (bdt + dW) + \frac{1}{2}u^{\prime\prime}(bdt + dW)^2 + \cdots \\ &= \left( u^{\prime}b + \frac{1}{2}u^{\prime\prime} \right) dt + u^{\prime}dW + \{\text{阶为 } (dt)^{3/2} \text{ 及更高的项}\}. \end{aligned}$$

上式的推导中，用到了 $(dW)^2 = dt$。因此

$$(6) \quad du(X) = \left( u^{\prime}b + \frac{1}{2}u^{\prime\prime} \right) dt + u^{\prime}dW,$$

(6) 称为是 伊藤链式法则 ($Ito's$ $chain$ $rule$) 或 伊藤公式 ($Ito's$ $formula$)。

两个例子

Example 1

SDE

$$\begin{cases} dY = Y dW \\ Y(0) = 1 \end{cases}$$

的解是

$$Y(t) = e^{W(t) - \frac{t}{2}}$$

用 $Ito's$ $formula$ 验证之：

$$Y(t) = u(X(t)), \quad u(X)=e^{X(t)}, \quad X(t) = W(t) - \frac{t}{2}$$

可得，

$$dX(t) = - \frac{1}{2} dt + dW, \quad b = - \frac{1}{2}$$

带入 $Ito's$ $formula$，

$$\begin{align*} dY &= du(X) = \left( u^{\prime}b + \frac{1}{2}u^{\prime\prime} \right) dt + u^{\prime}dW \\ &= \left(e^X \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} e^X \right) dt + e^X dW \\ &= YdW. \end{align*}$$

且

$$Y(0) = e^{X(0)} = e^{0-0} = 1.$$

□

Example 2

设 $S(t)$ 表示时刻 $t \geq 0$ 时股票的（随机）价格。一个标准模型假设价格的相对变化 $\frac{dS}{S}$ 服从如下 SDE：

$$\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dW$$

其中 $\mu > 0$ 和 $\sigma$ 是特定常数，分别称为股票的 漂移 (drift) 和波动率 (volatility)。换句话说，

$$\begin{cases} dS = \mu S dt + \sigma S dW \\ S(0) = s_0, \end{cases}$$

其中 $s_0$ 是初始价格，其解为

$$S(t) = s_0 e^{\sigma W(t) + \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) t}.$$

股票价格轨迹示意图

用 $Ito's$ $formula$ 验证之：

$$S(t) = u(X(t)), \quad u(X)=s_0 e^{\sigma X}, \quad X(t) = W(t) + \frac{1}{\sigma} (\mu - \frac{\sigma^2}{2})t$$

可得，

$$dX(t) = \frac{1}{\sigma} (\mu - \frac{\sigma^2}{2}) dt + dW, \quad b = \frac{1}{\sigma} (\mu - \frac{\sigma^2}{2})$$

带入 $Ito's$ $formula$，

$$\begin{align*} dS &= du(X) = \left( u^{\prime}b + \frac{1}{2}u^{\prime\prime} \right) dt + u^{\prime}dW \\ &= \left(s_0 \sigma e^{\sigma X} \cdot \frac{1}{\sigma} (\mu - \frac{\sigma^2}{2}) + \frac{1}{2} s_0 \sigma^2 e^{\sigma X} \right) dt + s_0 \sigma e^{\sigma X} dW \\ &= \left( S(\mu - \frac{\sigma^2}{2}) + \frac{\sigma^2}{2} S \right) dt + \sigma S dW \\ &= \mu S dt + \sigma S dW. \end{align*}$$

且

$$S(0) = s_0 e^{\sigma \cdot 0} = s_0.$$

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