日拱一卒。

本文最后更新于 2025年8月12日 晚上

数分

题目

求证：{(1+1n)n+1}\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\} 单减，{(1+1n)n}\{(1+\frac{1}{n})^n\} 有界。

{(1+1n)n}\{(1+\frac{1}{n})^n\} 有上界其实也可以用求导来做

证明：首先有，

bn+1−an+1>(n+1)an(b−a),0<a<bb^{n+1} - a^{n+1} > (n+1) a^n (b-a) , \quad 0 < a < b

利用上面公式，

(1+1n)n+1−(1+1n+1)n+1>(n+1)⋅(1+1n+1)n⋅(1n−1n+1)=(n+1)⋅(1+1n+1)n⋅1n(n+1)=(1+1n+1)n+1⋅1n⋅n+1n+2>(1+1n+1)n+1⋅1n+1\begin{align*} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} - \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} &> (n+1) \cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \cdot \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \\ &= (n+1) \cdot \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \cdot \frac{1}{n(n+1)} \\ &= \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{n+2} \\ &> \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} \end{align*}

移项，

(1+1n)n+1>(1+1n+1)n+2\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} > \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+2}

故 {(1+1n)n+1}\{(1+\frac{1}{n})^{n+1}\} 单减。更进一步，

(1+1n)n+1≤(1+1)2=4,∀n∈N\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \leq (1+1)^2 = 4, \quad \forall n \in \mathbb{N}

于是，

(1+1n)n≤41+1n<4,∀n∈N\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \leq \dfrac{4}{1+\frac{1}{n}} < 4, \quad \forall n \in \mathbb{N}

高代

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#数学分析 #高等代数
每日一题Day003
http://dbqdss.github.io/2025/08/08/数学/每日一题/20250808每日一题/
作者
失去理想的獾
发布于
2025年8月8日
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