每日一题Day001

数分

题目： 设 $p > 1$，证明：数列 $\{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^p} \}$ 收敛。

证明： 首先，$\{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^p}\}$ 是单调递增的，下证其有上界。

观察到，有不等式，

$$(1+x)^\alpha - 1 \geq \alpha x \geq \frac{\alpha x}{1+x}, \quad \forall x \geq 0, \alpha \geq 0$$

于是，

$$\begin{align*} \frac{1}{n^{p-1}} - \frac{1}{(n+1)^{p-1}} &= \frac{1}{(n+1)^{p-1}} \left( \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{p-1} - 1 \right) \\ &\geq \frac{1}{(n+1)^{p-1}} \cdot \frac{(p-1) \frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} \\ &= \frac{p-1}{(n+1)^{p}} \end{align*}$$

故，

$$\frac{1}{(n+1)^{p}} \leq \frac{1}{p-1} \left( \frac{1}{n^{p-1}} - \frac{1}{(n+1)^{p-1}} \right)$$

于是，

$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^p} &= 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^p} \leq 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p-1} \left( \frac{1}{k^{p-1}} - \frac{1}{(k+1)^{p-1}} \right) \\ &= 1 + \frac{1}{p-1} \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^{p-1}}\right) \\ & \leq \frac{p}{p-1}, \quad \forall n \geq 1 \end{align*}$$

由单调有界数列必收敛，命题得证。

解几

外积的性质：

1. 证明：$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$
2. 证明：$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d}) (\vec{b} \cdot \vec{c})$
3. 证明：$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} + (\vec{b} \times \vec{c}) \times \vec{a} + (\vec{c} \times \vec{a}) \times \vec{b} = 0$

证明：

（1）

情形1：$\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{0}$，此时二者共线，结论显然成立。

情形2：设 $\vec{d} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$，有

$$\vec{d} \perp \vec{a}, \quad \vec{d} \perp \vec{b} \times \vec{c}$$

因为 $\vec{d} \perp \vec{b} \times \vec{c}$，所以 $\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ 三者共面，可设 $\vec{d} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$。

又 $\vec{d} \perp \vec{a}$，故

$$\vec{a} \cdot \vec{d} = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) + \mu (\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0$$

即：

$$\left\{\begin{matrix} \lambda = k (\vec{a} \cdot \vec{c})\\ \mu = - k (\vec{a} \cdot \vec{b}) \end{matrix}\right.$$

故，

$$\vec{d} = k \left[ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \right]$$

由任意性，取 $\vec{a} = \vec{b} = \vec{i}, \vec{c} = \vec{j}$，则

$$\vec{d} = \vec{i} \times (\vec{i} \times \vec{j}) = \vec{j} = k \vec{j} \Rightarrow k = 1$$

得证。

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（2） 由（1），已有

$$\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{d}$$

右侧对 $\vec{a}$ 内积，

$$\begin{align*} (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) &= [\vec{a}, \ \vec{b}, \ \vec{c} \times \vec{d}] \\ &= [\vec{b}, \ \vec{c}\times\vec{d}, \ \vec{a}] = \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}) \cdot \vec{a} \\ &= (\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d}) (\vec{b} \cdot \vec{c}) \end{align*}$$

□

（3）对每一项都使用（1）中公式，

$$\begin{align*} (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} &= (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} \\ (\vec{b} \times \vec{c}) \times \vec{a} &= (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{c} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b} \\ (\vec{c} \times \vec{a}) \times \vec{b} &= (\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} \\ \end{align*}$$

相加即可。

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