PDE笔记-第四讲

二阶线性PDE的分类

《姜礼尚》第五章

基本符号与概念

定义1：设 $u: \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，定义：

• k阶偏导数：$D^k u(x)$ 表示 $u$ 的所有$k$阶偏导数 $\dfrac{\partial^k u}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_k}}$；
• k阶导数范数：

  $$|D^k u| = \left( \sum_{i_1=1}^n \cdots \sum_{i_k=1}^n \left| \dfrac{\partial^k u}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_k}} \right|^2 \right)^{1/2}$$

• 梯度：

  $$Du = \left( \dfrac{\partial u}{\partial x_1}, \dots, \dfrac{\partial u}{\partial x_n} \right)^T$$

• 二阶导数矩阵：

  $$D^2 u = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_n \partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_n^2} \end{pmatrix}$$

定义2：形如

$$F\left[ D^k u(x),\ D^{k-1} u(x),\ \dots,\ Du(x),\ u(x),\ x \right] = 0, \quad x \in \Omega$$

的方程称为 k阶偏微分方程，其中

$$F: \mathbb{R}^{n^k} \times \cdots \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \times \Omega \to \mathbb{R}$$

是给定函数，$u: \Omega \to \mathbb{R}$ 是未知函数。一个PDE的阶是指此PDE中的未知函数出现的偏导数的最高阶数。

定义3：若 $u \in C^k(\Omega)$ 满足

$$F\left[ D^k u(x),\ D^{k-1} u(x),\ \dots,\ Du(x),\ u(x),\ x \right] = 0, \quad x \in \Omega$$

则称 $u$ 是方程的 古典（经典）解。

定义4：若方程形如

$$\sum_{|\alpha| \leq k} a_\alpha(x) D^\alpha u = f(x)$$

其中 $a_\alpha, f$ 是给定函数，则称其为 线性偏微分方程（ $|\alpha|$ 为多重指标的阶数）。

定义5：若方程形如

$$\sum_{|\alpha| = k} a_\alpha(x) D^\alpha u = f\left( D^{k-1} u(x),\ \dots,\ Du(x),\ u(x),\ x \right)$$

其中 $a_\alpha, f$ 是给定函数，则称其为 半线性偏微分方程（最高阶项线性，低阶项可非线性）。

定义6：若方程形如

$$\sum_{|\alpha| = k} a_\alpha\left( D^{k-1} u(x),\ \dots,\ Du(x),\ u(x),\ x \right) D^\alpha u = f\left( D^{k-1} u(x),\ \dots,\ Du(x),\ u(x),\ x \right)$$

其中 $a_\alpha, f$ 是给定函数，则称其为 拟线性偏微分方程（最高阶项系数含低阶导数，仍对最高阶项线性）。

定义7：若方程 非线性依赖于最高阶导数 ( D^k u )（即最高阶项无法整理为线性组合），则称其为 完全非线性偏微分方程。

常见的线性方程

1. Laplace方程：

$$\Delta u = 0$$

2. 特征值方程（Helmholtz方程）：

$$\Delta u + \lambda u = 0$$

3. 热（扩散）方程：

$$u_t - a^2 \Delta u = f$$

4. Schrödinger方程：

$$u_t - i\Delta u = 0$$

5. Kolmogorov方程：

$$u_t - \sum_{i,j=1}^n a_{ij} u_{x_i x_j} + \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i} = 0$$

6. Fokker-Planck方程：

$$u_t - \sum_{i,j=1}^n (a_{ij} u)_{x_i x_j} + \sum_{i=1}^n (b_i u)_{x_i} = 0$$

7. 输运方程：

$$u_t + \sum_{i=1}^n b_i u_{x_i} = 0$$

8. 波动方程：

$$u_{tt} - a^2 \Delta u = 0$$

9. 电报方程：

$$u_{tt} - a^2 \Delta u + b u_t = 0$$

常见的非线性方程

1. 非线性Poisson方程：

$$\Delta u = u^3 - u$$

2. 极小曲面方程：

$$\nabla \cdot \left( \frac{Du}{\left( 1 + |Du|^2 \right)^{\frac{1}{2}}} \right) = 0$$

3. Monge-Ampère方程：

$$\det(D^2 u) = f(x)$$

4. Hamilton-Jacobi方程：

$$u_t + H(Du) = 0$$

5. Burgers方程：

$$u_t + u u_x = 0$$

6. 多孔介质方程：

$$u_t - \Delta u^r = 0 \quad (r > 1)$$

7. Korteweg-deVries (KDV) 方程：

$$u_t + u u_x + u_{xxx} = 0$$

8. p-Laplace方程：

$$\det\left( |Du|^{p-2} Du \right) = 0$$

9. 非线性波动方程：

$$u_{tt} - a^2 \Delta u = f(u)$$

常见方程组

1. 弹性波动方程组

$$\boldsymbol{u}_{tt} - \mu \Delta \boldsymbol{u} - (\lambda + \mu) \nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{u} \right) = 0$$

2. Maxwell方程组

$$\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} = \operatorname{curl}\ \boldsymbol{E}$$

$$\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = -\operatorname{curl}\ \boldsymbol{B}$$

$$\nabla \cdot \boldsymbol{E} = 0, \quad \nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0$$

（其中 $c$ 为光速，$\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$ 分别为电场、磁场强度。）

3. Navier-Stokes方程组

$$\boldsymbol{u}_t + \boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u} - \mu \Delta \boldsymbol{u} + \nabla P = \boldsymbol{f}$$

$$\nabla \cdot \boldsymbol{u} = 0$$

本书重点

姜礼尚主要聚焦于三类典型二阶线性偏微分方程：

• 位势方程：

  $$-\Delta u = f(x)$$

• 热（扩散）方程（$a > 0$ 为常数）：

  $$u_t - a^2 \Delta u = f(x,t)$$

• 波动方程（$a > 0$ 为常数）：

  $$u_{tt} - a^2 \Delta u = f(x,t)$$

分类

在 $\mathbb{R}^m$ 中，二阶线性偏微分方程的一般形式为：

$$\sum_{i,j=1}^m a_{ij}(x) u_{x_i x_j} + \sum_{i=1}^m b_i(x) u_{x_i} + c(x) u(x) = f(x)$$

其中 $a_{ij} = a_{ji}$。

• (1) 位势方程
  取 $b_i = 0$，$c = 0$，矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times m}$ 为对角负单位矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} -1 & & & \\ & -1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & -1 \end{bmatrix}$$

• (2) 热传导方程（$m = n+1$，$t = x_{n+1}$）
  取 $b_i = 0\ (i=1,\dots,n)$，$b_{n+1} = 1$，$c = 0$，矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times m}$ 为对角矩阵（最后一行最后一列为0）：

$$A = \begin{bmatrix} -a^2 & & & \\ & \ddots & & \\ & & -a^2 & \\ & & & 0 \end{bmatrix}$$

• (3) 波动方程（$m = n+1$，$t = x_{n+1}$）
  取 $b_i = 0$，$c = 0$，矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times m}$ 为对角矩阵（最后一行最后一列为1）：

$$A = \begin{bmatrix} -a^2 & & & \\ & \ddots & & \\ & & -a^2 & \\ & & & 1 \end{bmatrix}$$

定义8：
设 $x_0 \in \mathbb{R}^m$，$A(x_0)$ 为二阶项的对称系数矩阵。方程在 $x_0$ 处的类型：

1. 椭圆型：若 $A(x_0)$ 的 $m$ 个特征值全为负数；
2. 抛物型：若 $A(x_0)$ 的 $m$ 个特征值仅1个为0，其余为负数；
3. 双曲型：若 $A(x_0)$ 的 $m$ 个特征值仅1个为正，其余为负数。

区域上每个点方程都是椭圆型（抛物型、双曲型），则称方程属于椭圆型（抛物型、双曲型）。

适定性

定义9：若一个偏微分方程的定解问题满足下列条件：

1. 存在性：解存在；
2. 唯一性：解唯一；
3. 稳定性：解连续依赖于定解条件和定解问题的已知函数。

则称此定解问题是 适定的，否则为 不适定的。

本书学习思路：

• 对 形式解 补充验证条件，确保其为定义明确的解（存在性）。
• 通过 能量估计 或 最大模估计，证明解的唯一性和稳定性。