PDE笔记-第二讲（下）

守恒律 = 动量守恒 + 能量守恒 + 质量守恒

能量守恒

热传导方程的导出

物理假设：三维空间中，均匀、各向同性的物体，内部有热源，与周围介质有热交换，研究物体内部温度的分布与变化：

• 物体占据区域 $\boldsymbol{\Omega \subset \mathbb{R}^3}$，内部有热源，与周围介质热交换；
• 符号定义：
  • $u(x,y,z,t)$：温度（时空函数），
  • $c$：比热容（常数），
  • $\rho$：密度（常数），
  • $\boldsymbol{q}$：热流密度（单位时间通过单位面积的热量，向量），
  • $f_0$：热源强度（单位时间单位体积产热）。

任取子区域 $D \subset \Omega$，时段 $[t_1, t_2]$，有能量关系：

$$\text{区域热量变化}(Q_{t_2}-Q_{t_1}) = \text{通过边界流入的热量}(t_1 \leq t \leq t_2) + \text{热源产热}(t_1 \leq t \leq t_2)$$

数学化表达：

$$\iiint_D c\rho \left( \left. u \right|_{t=t_2} - \left. u \right|_{t=t_1} \right) dxdydz = - \int_{t_1}^{t_2} dt \oiint_{\partial D} \boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{n} \, dS + \int_{t_1}^{t_2} dt \iiint_D \rho f_0 \, dxdydz$$

其中，

• 第一项：热量 = 质量 × 比热容 × 温度变化
• 第二项：热流通过 $\partial D$ 的法向通量（$\boldsymbol{q} \cdot \boldsymbol{n} > 0$ 表示热量流出 $D$，故流入量为负）
• 第三项：热源产生的热量

实验定律：Fourier定律：热流密度与温度梯度反向成正比：

$$\boldsymbol{q} = -k \nabla u$$

其中，

• $k > 0$ 为热传导系数，
• $\nabla u = \left( \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y}, \dfrac{\partial u}{\partial z} \right)$ 是温度梯度。

由Fouier定律：

$$\iiint_D c\rho \left( \left. u \right|_{t=t_2} - \left. u \right|_{t=t_1} \right) dxdydz = \int_{t_1}^{t_2} dt \oiint_{\partial D} k \nabla u \cdot \boldsymbol{n} \, dS + \int_{t_1}^{t_2} dt \iiint_D \rho f_0 \, dxdydz$$

接下来的目标：将曲面上的积分化为区域 $D$ 上的积分，化简积分等式，得到微分等式。

Gauss-Green公式：对向量场 $\boldsymbol{U}$，有

$$\iiint_D \nabla \cdot \boldsymbol{U} \, dxdydz = \oiint_{\partial D} \boldsymbol{U} \cdot \boldsymbol{n} \, dS$$

由 Gauss-Green公式，有：

$$\iiint_D c\rho \left( \left. u \right|_{t=t_2} - \left. u \right|_{t=t_1} \right) dxdydz = \int_{t_1}^{t_2} dt \iiint_D \nabla \cdot (k \nabla u) \, dxdydz + \int_{t_1}^{t_2} dt \iiint_D \rho f_0 \, dxdydz$$

LHS 用 时间导数的积分 表示：

$$\iiint_D c\rho \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial u}{\partial t} dt \, dxdydz = \int_{t_1}^{t_2} dt \iiint_D \left[ \nabla \cdot (k \nabla u) + \rho f_0 \right] dxdydz$$

由于 $D$ 和 $[t_1, t_2]$ 任意，两侧函数逐点相等，

$$c\rho \frac{\partial u}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla u) + \rho f_0$$

则方程化简为 热传导方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = f$$

其中，

• 热扩散率：$\boldsymbol{a^2 = \dfrac{k}{c\rho}}$，
• 等效热源：$\boldsymbol{f = \dfrac{f_0}{c}}$，
• $\Delta u = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}$ 是三维Laplace算子。

定解条件与定解问题

初始条件

描述物体在初始时刻（$t=0$）的温度分布：

$$u(x, y, z, 0) = \varphi(x, y, z) ,\quad (x, y, z) \in \overline{\Omega}$$

其中，$\overline{\Omega}$ 为物体占据的闭区域。

n维热传导方程示意图

设物体边界为 $\Sigma = \partial\Omega$，时空边界为 $\Sigma \times (0, \infty)$（记为 $\Sigma$，含时间 $t > 0$）。

Dirichlet边界条件（第一类边界条件）

已知边界上的温度分布：

$$\left. u \right|_{\Sigma} = g(x, y, z, t)$$

• 特殊情况：若 $g = \text{Const}$，物体边界保持恒温。

Neumann边界条件（第二类边界条件）

已知通过边界的热流量：

$$\left. k \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \right|_{\Sigma} = g(x, y, z, t)$$

• 物理意义：
  • $g \geq 0$：热量流入物体；
  • $g \leq 0$：热量流出物体；
  • $g = 0$：物体绝热（无热量交换）。

Robin边界条件（第三类边界条件）

描述边界与周围介质的热交换，形式为：

$$\left. k \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \right|_{\Sigma} = \left. \alpha_0 (g_0 - u) \right|_{\Sigma}$$

或

$$\left. \left( \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} + \alpha u \right) \right|_{\Sigma} = g(x, y, z, t)$$

• 参数含义：
  • $g_0$：周围介质温度（常数/函数），
  • $\alpha_0 > 0$：热交换系数，
  • $\alpha = \dfrac{\alpha_0}{k} > 0$

定解问题

• 混合问题：$\boldsymbol{\text{偏微分方程} + \text{初始条件} + \text{边界条件}}$
• 初值（Cauchy）问题：$\boldsymbol{\text{偏微分方程} + \text{初始条件}}$，考虑无限区域：$\{ \mathbb{R}^3,\ t \geq 0\}$

热传导方程的推广

情形一：细杆

考虑物体是一根细杆，侧表面绝热，与周围的热交换只发生在杆的两端；在任意一个与杆的轴线垂直的截面上，初始温度和热源强度变化很小，可以近似认为杆上的温度分布只依赖于截面的位置 $u(x,y,z,t) = u(x,t)$

$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = f(x,t)$$

情形二：球

考虑一半径为 $R$ 的球体，它通过球表面与周围介质有热交换. 如果在球面上所有各点所受周围介质的影响都相同，且球内任意一点的初始温度与热源强度只依赖于它到球心的距离（与方位无关），则我们取球心为坐标原点，引进球坐标, $r^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$，球内部的温度 $u = u(r,t)$

由链式法则，可计算出 $u$ 对 $x_i$ 方向的二阶偏导：

$$\frac{\partial u}{\partial x_i} = \frac{\partial u}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x_i}= \frac{x_i}{r} \frac{\partial u}{\partial r}$$

$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = \dfrac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial u}{\partial x_i} = \dfrac{\partial}{\partial x_i} \left( \frac{x_i}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right)= \dfrac{x_i^2}{r^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \dfrac{r^2 - x_i^2}{r^3} \dfrac{\partial u}{\partial r}$$

进而得到，

$$\begin{align*} \Delta u &= \sum_{i=1}^3 \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = \sum_{i=1}^3 \dfrac{x_i^2}{r^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \dfrac{r^2 - x_i^2}{r^3} \dfrac{\partial u}{\partial r} \\ &= \dfrac{\sum_{i=1}^3 x_i^2}{r^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \dfrac{3 r^2 - \sum_{i=1}^3 x_i^2}{r^3} \dfrac{\partial u}{\partial r} \\ &= \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \end{align*}$$

再带入热传导方程通式，得到球对称问题的热传导方程，

$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial u}{\partial r} \right) = f(r,t)$$

情形三：稳态方程

当物体内部热源以及与外界的热交换与时间无关时，物体内部的温度趋于稳定，即，

$$\frac{\partial u}{\partial t} = 0$$

代入热传导方程，得到 Poisson 方程：

$$-a^2 \Delta u = f(x,y,z)$$

质量守恒

质量守恒：流体在区域 $\Omega$ 内运动，任意截取其中的一个区域 $D$，考虑时段 $[t_1, t_2]$

$$\text{在}D\text{内质量}(M_{t_2} - M_{t_1}) = \text{通过边界流入的质量}(t_1 \le t \le t_2)$$

设 $\boldsymbol{v}$ 为流体的运动速度，$\boldsymbol{n}$ 是外法线方向，则在 $dt$ 时段内通过 $\partial D$ 上任意小块 $dS$ 流入的质量为：

$$-\rho \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \, dS \, dt$$

区域内质量变化的积分关系：

$$\iiint_D \left( \rho\big|_{t=t_2} - \rho\big|_{t=t_1} \right) dxdydz = -\int_{t_1}^{t_2} dt \oiint_{\partial D} \rho \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \, dS$$

Gauss-Green公式：

$$\int_\Omega \nabla \cdot \boldsymbol{U} \, dx = \oiint_{\partial \Omega} \boldsymbol{U} \cdot \boldsymbol{n} \, dS$$

由Gauss-Green公式，

$$\int_{t_1}^{t_2} dt \iiint_D \frac{\partial \rho}{\partial t} \, dxdydz = -\int_{t_1}^{t_2} dt \iiint_D \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) \, dxdydz$$

由区域和时间都是任意的，得到 连续性方程

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0, \quad \Omega \times (0, \infty)$$

情形一：速度为常量

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \nabla \rho = 0, \quad \Omega \times (0, \infty)$$

情形二：不可压缩流体

$$\nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0$$

情形三：不可压缩无旋运动

$$\nabla \times \boldsymbol{v} = 0$$

感兴趣可参考：秦铁虎，李大潜，物理学与偏微分方程（上下两册）