PDE笔记-第一讲

下学期就要当PDE助教了，先写点Blog复习一下。
以下内容来自贾老师PPT与我的上课笔记（说到底还是贾老师的讲稿），此处只是整理+些许丰富/改动，仅供学习参考，勿作其他用途。
第一次更新：2025/07/29 11:50
第二次更新：2025/07/30 20:43
第三次更新：2025/08/01 22:19
第四次更新：2025/08/02 10:47（单篇太长了，导致网页卡顿，已拆成五篇）

参考书

贾老师推荐的主要参考书：

1. 教材：姜礼尚《数学物理方程讲义（第三版）》
2. 中文参考书：
   1. 周蜀林《偏微分方程》，老师讲稿中涉及书目之二
   2. 陈才生《数学物理方程》+《学习指导与习题解答》（题目很丰富），
   3. 谷超豪《数学物理方程（第三版）》
3. 国外参考书：
   1. Lawrence C. Evans《Partial Differential Equations (Second Edition)》，第1-4章对应课本的内容，讲解了一般 𝑛 维的理论，全但不深。
   2. Alberto Bressan《Lecture Notes on Functional Analysis With Applications to Linear
      Partial Differential Equations》，一本小书，老师强推。

基础知识

符号说明

若 $u: \Omega \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$，用 $C(\Omega)$ 表示在 $\Omega$ 上的连续函数构成的线性空间，对于 $u \in C(\Omega)$，定义

$$\begin{equation*} \| u \|_{C(\Omega)} = \sup_{x \in \Omega} |u(x)|. \end{equation*}$$

用 $C^k(\Omega)$ 表示 $\Omega$ 上所有 $k$ 阶偏导数都存在且连续的函数构成的线性空间（即在 $\Omega$ 上 $k$ 阶连续可微的函数构成的线性空间），其上的范数定义为

$$\|u\|_{C^k(\Omega)} = \sup_{x \in \Omega} |u(x)| + \sum_{|\alpha|=1}^k \sup_{x \in \Omega} |D^\alpha u(x)|,$$

其中多重指标 $\alpha = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$，满足

$$|\alpha| = \alpha_1 + \ldots + \alpha_n, \quad D^\alpha u = \frac{\partial^{|\alpha|} u}{\partial x_1^{\alpha_1} \dotsm \partial x_n^{\alpha_n}}.$$

对于函数 $u \in C(\Omega)$，定义其支集为所有满足 $u(x) \neq 0$ 的点集在 $\Omega$ 上的闭包，记为

$$\text{supp} \ u = \overline{\{ x \in \Omega \mid u(x) \neq 0 \}}.$$

用 $C_0^k(\Omega)$ 表示 $C^k(\Omega)$ 中具有紧支集的函数类。用 $C^\infty(\Omega)$ 表示

$$C^\infty(\Omega) = \bigcap_{k=1}^\infty C^k(\Omega).$$

梯度

对于标量函数 $u$，其梯度定义为：

$$\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial u}{\partial x_n} \right)^T$$

散度

对于向量函数 $U = (u_1, \ldots, u_n)^T$，其散度定义为：

$$\nabla \cdot U = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \ldots + \frac{\partial u_n}{\partial x_n} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial u_i}{\partial x_i}$$

Green公式

形式一

假设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是平面上由有限条可求长闭曲线围成的闭区域，函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上连续，且有连续的一阶偏导数，则：

$$\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \int_{\partial D} Pdx + Qdy$$

其中 $\partial D$ 取正向。

形式二

假设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是平面上由有限条可求长闭曲线围成的闭区域，函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上连续，且有连续的一阶偏导数，则：

$$\iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dxdy = \int_{\partial D} P\cos(\boldsymbol{n}, x) + Q\cos(\boldsymbol{n}, y) \, dS$$

其中 $\boldsymbol{n}$ 为单位外法向量。

证明

设 $\boldsymbol{t}$ 为边界 $\partial D$ 的单位切向量（因 $\boldsymbol{n}$ 是单位外法向量），满足：

$$\cos(\boldsymbol{n}, x) = \cos(\boldsymbol{t}, y), \quad \cos(\boldsymbol{n}, y) = -\cos(\boldsymbol{t}, x)$$

示意图

边界上的微分满足：

$$dx = -\cos(\boldsymbol{t}, x) \, ds, \quad dy = \cos(\boldsymbol{t}, y) \, ds$$

对左侧二重积分逐步推导：

$$\iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dxdy = \int_{\partial D} -Qdx + Pdy = \int_{\partial D} -Q\cos(\boldsymbol{t}, x) + P\cos(\boldsymbol{t}, y) \, dS = \int_{\partial D} Q\cos(\boldsymbol{n}, y) + P\cos(\boldsymbol{n}, x) \, dS$$

形式三

假设 $D \subset \mathbb{R}^2$ 是平面上由有限条可求长闭曲线围成的闭区域，函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上连续，且有连续的一阶偏导数，则

$$\iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dxdy = \int_{\partial D} P\cos(\boldsymbol{n}, x) + Q\cos(\boldsymbol{n}, y) \, dS$$

其中 $\boldsymbol{n}$ 为单位外法向量。

记 $U = (P, Q)^T$（即 $U$ 是分量为 $P, Q$ 的列向量），由于单位外法向量可表示为 $\boldsymbol{n} = \big( \cos(\boldsymbol{n}, x), \cos(\boldsymbol{n}, y) \big)^T$，则上述公式可改写为 散度 - 法向点积形式：

$$\iint_D \nabla \cdot U \, dxdy = \int_{\partial D} U \cdot \boldsymbol{n} \, dS$$

Gauss公式

假设 $V \subset \mathbb{R}^3$ 是空间上的一个有界闭区域，其边界 $\partial V$ 由有限张分块光滑的双侧曲面组成，并取外法向，函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 在 $V$ 上连续，且有连续的一阶偏导数，则

$$\iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dxdydz = \iint_{\partial V} Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_{\partial V} \big( P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma \big) dS$$

其中 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 为边界 $\partial V$ 的外法向量的方向余弦。

记 $U = (P, Q, R)^T$，由于 $\boldsymbol{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)^T$，我们有

$$\iiint_V \nabla \cdot U \, dxdydz = \iint_{\partial V} U \cdot \boldsymbol{n} \, dS$$

Gauss-Green公式

假设 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是一个有界开集，且 $\partial\Omega \in C^1$。若向量函数 $U = (u_1, \cdots, u_n)^T: \overline{\Omega} \to \mathbb{R}^n$ 满足 $U \in C^1(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$，则

$$\int_{\Omega} \nabla \cdot U \, dx = \int_{\partial\Omega} U \cdot \boldsymbol{n} \, dS$$

其中 $\boldsymbol{n}$ 为 $\partial\Omega$ 的单位外法向量。

四个常用性质

证明可见 去年的PDE第一次作业

性质一

若 $u, v \in C^1(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$，则

$$\int_{\Omega} u_{x_i} v \, dx = -\int_{\Omega} u \, v_{x_i} \, dx + \int_{\partial\Omega} u v \, n_i \, dS$$

其中 $n_i$ 是 $\partial\Omega$ 单位外法向量 $\boldsymbol{n}$ 的第 $i$ 个分量。

性质二

若 $u \in C^2(\Omega) \cap C^1(\overline{\Omega})$，则

$$\int_{\Omega} \Delta u \, dx = \int_{\partial\Omega} \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \, dS$$

性质三

若 $u, v \in C^1(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ 且 $v \in C^2(\Omega) \cap C^1(\overline{\Omega})$，则

$$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx = -\int_{\Omega} u \, \Delta v \, dx + \int_{\partial\Omega} u \, \frac{\partial v}{\partial \boldsymbol{n}} \, dS$$

性质四

若 $u, v \in C^2(\Omega) \cap C^1(\overline{\Omega})$，则

$$\int_{\Omega} \big( u \Delta v - v \Delta u \big) \, dx = \int_{\partial\Omega} \left( u \frac{\partial v}{\partial \boldsymbol{n}} - v \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \right) \, dS$$