PDE笔记-第三讲

基本概念

$\text{泛函}:\text{函数集} \to \mathbb{R}/\mathbb{C}$
$\text{映射} \ F(f) : \text{函数} \to \mathbb{R}$，e.g. $F(f) = \int_a^b f(x) dx, \ \forall f \in C([a, b])$

变分问题：求解泛函在定义域中的极值。

$C_0^\infty(\Omega)$：在 $\Omega$ 上无穷次可微且在 $\Omega$ 的边界附近为0的函数全体。

重要函数与引理

考虑二维函数

$$\rho(x, y) = \begin{cases} k \, e^{-\dfrac{1}{1 - (x^2 + y^2)}}, & x^2 + y^2 < 1, \\ 0, & x^2 + y^2 \geq 1. \end{cases}$$

取适当的 $k$，使得

$$\iint_{\mathbb{R}^2} \rho(x, y) \, dxdy = 1.$$

定义

$$\rho_n(x, y) = n^2 \, \rho(nx, ny) \quad (n > 0),$$

当 $(nx)^2 + (ny)^2 \geq 1$，即 $x^2 + y^2 \geq \dfrac{1}{n^2}$ 时，$\rho_n(x, y) = 0$。

于是 $\rho_n \in C_0^\infty(\mathbb{R}^2)$，且满足

$$\iint_{\mathbb{R}^2} \rho_n(x, y) \, dxdy = 1.$$

引理：

设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的有界单连通区域，函数 $f(x, y)$ 在 $\Omega$ 上连续。若对任意 $\varphi(x, y) \in C_0^\infty(\Omega)$，都有：

$$\iint_{\Omega} f(x, y) \, \varphi(x, y) \, dxdy = 0,$$

则 $f(x, y)$ 在 $\Omega$ 上恒为0。

证明：反证法。
若不然，则存在 $(x_0, y_0) \in \Omega$ 使得 $f(x_0, y_0) \neq 0$。不妨设 $f(x_0, y_0) > 0$。

由 $f$ 在 $\Omega$ 上连续，可知存在以 $(x_0, y_0)$ 为心的 $\delta$-闭邻域 $\overline{B_\delta} \subset \Omega$，使得：

$$f(x, y) > 0, \quad \forall (x, y) \in B_\delta.$$

取在上面定义的光滑函数 $\varphi(x, y) = \rho_n(x - x_0, y - y_0) \in C_0^\infty(\Omega)$，支集为

$$\{(x,y) | (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < \dfrac{1}{n^2}\}$$

则当 $n$ 足够大时，$\dfrac{1}{n} \leq \delta$，故 $\varphi$ 的支集完全含于 $B_\delta \subset \Omega$，即 $\varphi \in C_0^\infty(\Omega)$。

根据题设条件，对上述的 $\varphi$ 有：

$$\begin{align*} 0 &= \iint_{\Omega} f(x, y) \, \varphi(x, y) \, dxdy \\ &= \iint_{B_\delta} f(x, y) \, \rho_n(x - x_0, y - y_0) \, dxdy = 1 > 0. \end{align*}$$

矛盾！最后一步是因为 $\rho_n$ 在支集内的积分为 1。

□

极小曲面问题

问题设定

极小曲面问题：设 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 为有界区域，边界曲线 $\ell$ 参数化为：

$$\ell: \begin{cases} x = x(s) \\ y = y(s) \\ z = z(s) \end{cases} \quad (0 \leq s \leq s_0)$$

求定义在 $\overline{\Omega}$ 上的曲面 $S: z = u(x, y)$，满足：

1. $S$ 以 $\ell$ 为周界；
2. $S$ 的表面积最小。

极小曲面问题示意图

也即，在给定函数集合 $M_\varphi$ 上，求 $u \in M_\varphi$，使得

$$J(u) = \underset{v \in M_\varphi}{\min} J(v)$$

其中，

• 定义

  $$M_\varphi = \left\{ u \in C^1(\overline{\Omega}) \mid u|_{\partial\Omega} = \varphi \right\}$$

• 定义

  $$J(u) = \iint_{\Omega} \sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2} \, dxdy$$

• 映射 $J: M_\varphi \to \mathbb{R}$ 是一个泛函。

极小曲面的必要条件

必要条件：若 $u \in M_\varphi$ 是上述变分问题的解，则对任意扰动，其泛函值都不减小。

定义零边界函数集 $M_0$，

$$M_0 = \left\{ v \in C^1(\overline{\Omega}) \mid v|_{\partial\Omega} = 0 \right\}$$

对任意 $v \in M_0$ 和 $\varepsilon \in \mathbb{R}$，扰动后的 $u + \varepsilon v$ 仍属于 $M_\varphi$。

定义单参数泛函：

$$j(\varepsilon) = J(u + \varepsilon v) = \iint_{\Omega} \sqrt{1 + (u_x + \varepsilon v_x)^2 + (u_y + \varepsilon v_y)^2} \, dxdy$$

由于 $u$ 是极小值点，于是，

$$j(0) \leq j(\varepsilon) ,\quad \forall \varepsilon \in \mathbb{R}$$

故 一阶变分为零，

$$j^\prime(0) = 0$$

接下来计算 $j^\prime(\varepsilon)$

对 $j(\varepsilon)$ 关于 $\varepsilon$ 求导，

$$\begin{align*} j^\prime(\varepsilon) &= \frac{ \partial \ j(\varepsilon)}{\partial \ \varepsilon} = \frac{\partial \ J(u + \varepsilon v)}{\partial \ \varepsilon}\\ &= \frac{\partial}{\partial \varepsilon} \iint_{\Omega} \sqrt{1 + (u_x + \varepsilon v_x)^2 + (u_y + \varepsilon v_y)^2} \, dxdy \\ &= \iint_{\Omega} \frac{\partial}{\partial \varepsilon} \sqrt{1 + (u_x + \varepsilon v_x)^2 + (u_y + \varepsilon v_y)^2} \, dxdy \\ &= \iint_{\Omega} \frac{(u_x + \varepsilon v_x)v_x + (u_y + \varepsilon v_y)v_y}{\sqrt{1 + (u_x + \varepsilon v_x)^2 + (u_y + \varepsilon v_y)^2}} \, dxdy \end{align*}$$

令 $\varepsilon = 0$，得

$$\begin{align*} j^\prime(0) &= \iint_{\Omega} \frac{u_x v_x + u_y v_y}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \, dxdy \\ &= \iint_{\Omega} \left( \frac{u_x}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \ v_x + \frac{u_y}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \ v_y \right) dxdy = 0 ,\quad \forall v \in M_0 \end{align*}$$

假设 $u \in C^2(\overline{\Omega})$，由 Green公式（前文的性质一）且 $v|_{\partial\Omega} = 0$，有

前半部分

$$\begin{align*} \iint_{\Omega} \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{u_x}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}}\right) v \, dxdy &= -\iint_{\Omega} \left( \frac{u_x}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \right) v_x \, dxdy + \int_{\partial\Omega} \left( \frac{u_x}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \right) \ v \, n_x \, dS \\ &= -\iint_{\Omega} \frac{u_x v_x}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \, dxdy \\ \end{align*}$$

后半部分

$$\begin{align*} \iint_{\Omega} \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{u_y}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}}\right) v \, dxdy &= -\iint_{\Omega} \left( \frac{u_y}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \right)v_y \, dxdy + \int_{\partial\Omega} \left( \frac{u_y}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \right) \ v \, n_y \, dS \\ &= -\iint_{\Omega} \frac{u_y v_y}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \, dxdy \\ \end{align*}$$

于是，

$$j^\prime(0) = - \iint_{\Omega} \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{u_x}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{u_y}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}}\right) \right] v \, dxdy$$

因 $v \in M_0$ 是 任意 零边界光滑函数，根据前文引理，得：

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{u_x}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{u_y}{\sqrt{1 + u_x^2 + u_y^2}} \right) = 0$$

此即 极小曲面问题的Euler方程。

膜的平衡问题

问题设定

物理模型：考虑一处于紧张状态的薄膜，它的部分边界固定在一框架上，在另一部分边界上受到外力的作用；若整个薄膜在垂直于平衡位置的外力作用下处于平衡状态，问膜的形状如何？

取膜的水平位置为 $Oxy$ 平面上的区域 $\Omega$，以 $u$ 轴垂直于 $Oxy$ 平面，并与 $x,y$ 轴组成右手系。$\Omega$ 的边界 $\partial\Omega = \gamma + \Gamma$，在 $\gamma$ 上已知膜的位移为 $\varphi$，在 $\Gamma$ 上膜受到外力的作用，设它的垂直于膜的分量为 $p(x,y)$。

从力学上讲，我们可以从不同的角度来刻画这个平衡状态；例如从力的平衡原理，虚功原理等。我们在这里采用最小势能原理。

最小势能原理：受外力作用的弹性体，在满足已知边界位移约束的一切可能位移中，以达到平衡状态的位移使物体的总势能为最小。

膜的平衡问题-示意图

膜的能量泛函 $J(v)$ 定义为应变能与外力功的差：

$$J(v) = \underbrace{\frac{T}{2} \iint_\Omega \left( v_x^2 + v_y^2 \right) dxdy}_{\text{应变能}} - \underbrace{\iint_\Omega f(x,y)\, v(x,y)\, dxdy}_{\text{面力做功}} - \underbrace{\int_\Gamma p(s)\, v(s)\, ds}_{\text{边界力做功}}$$

符号说明：

• $v(x,y)$ 表示膜上各点位移；
• 膜内的外力为 $f(x,y)$；
• $T$ 是膜的面内张力密度。

定义函数空间：边界 $\Gamma$ 上给定位移 $\varphi$ 的空间，

$$M_\varphi = \left\{ v \mid v \in C^1(\Omega),\ v|_\Gamma = \varphi \right\}$$

求 $u \in M_\varphi$ 使得 $J(u)$ 是 $J(v)$ 在 $M_\varphi$ 上的最小值，即：

$$J(u) = \min_{v \in M_\varphi} J(v)$$

再定义边界 $\Gamma$ 上位移为 $0$ 的空间：

$$M_0 = \left\{ v \mid v \in C^1(\Omega),\ v|_\Gamma = 0 \right\}$$

对任意 $v \in M_0$ 和 $\varepsilon \in \mathbb{R}$，有 $u + \varepsilon v \in M_\varphi$。

最小势能的必要条件

定义单变量函数

$$j(\varepsilon) = J(u + \varepsilon v)$$

有，

$$j(0) \leq j(\varepsilon) ,\quad \forall \varepsilon \in \mathbb{R} \quad and \quad j^\prime(0) = 0$$

$j(\varepsilon)$ 的表达式为，

$$j(\varepsilon) = \frac{T}{2} \iint_\Omega \left[ (u_x + \varepsilon v_x)^2 + (u_y + \varepsilon v_y)^2 \right] dxdy - \iint_\Omega f(u + \varepsilon v) dxdy - \int_\Gamma p(u + \varepsilon v) ds$$

注意，此处之后都使用简写：

• $f(u + \varepsilon v) := f(x,y)\left[u(x,y)+\varepsilon v(x,y)\right]$
• $p(u + \varepsilon v) := p(s)\left[u(s)+\varepsilon v(s)\right]$

对 $\varepsilon$ 求导得，

$$j^\prime(\varepsilon) = T \iint_\Omega \left[ (u_x + \varepsilon v_x) v_x + (u_y + \varepsilon v_y) v_y \right] dxdy - \iint_\Omega f v dxdy - \int_\Gamma p v ds$$

令 $\varepsilon = 0$，得必要条件：

$$j^\prime(0) = T \iint_\Omega \left( u_x v_x + u_y v_y \right) dxdy - \iint_\Omega f v dxdy - \int_\Gamma p v ds = 0, \quad \forall\ v \in M_0$$

充分性证明：事实上，上面的必要条件是充要的。

对任意 $w \in M_\varphi$，需证 $J(w) \geq J(u)$，计算差值，

$$J(w) - J(u) = \frac{T}{2} \iint_\Omega \left[ (w_x^2 + w_y^2) - (u_x^2 + u_y^2) \right] dxdy - \iint_\Omega f(w - u) dxdy - \int_\Gamma p(w - u) ds$$

令 $w - u = v \in M_0$，对 $v$ 使用必要条件，有：

$$T \iint_\Omega \left[ u_x(w_x - u_x) + u_y(w_y - u_y) \right] dxdy - \iint_\Omega f (w-u) dxdy - \int_\Gamma p (w-u) ds = 0$$

将 $J(w) - J(u)$ 与上式相减，得：

$$J(w) - J(u) = \frac{T}{2} \iint_\Omega \left( (w_x - u_x)^2 + (w_y - u_y)^2 \right) dxdy \geq 0$$

所以上述条件也是充分的。

接下来转化为微分方程的形式

充要条件：

$$T \iint_\Omega \left( u_x v_x + u_y v_y \right) dxdy - \iint_\Omega f v dxdy - \int_\Gamma p v ds = 0, \quad \forall\ v \in M_0$$

Gauss-Green公式 - 性质三（详见第一讲）

$$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx = -\int_{\Omega} u \, \Delta v \, dx + \int_{\partial\Omega} u \, \frac{\partial v}{\partial \boldsymbol{n}} \, dS$$

设 $u \in C^2(\Omega)$，对充要条件应用 Gauss-Green公式的性质之三，

第一项为：

$$T \iint_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, dxdy = - T \iint_{\Omega} v \, \Delta u \, dxdy + T \int_{\Gamma} v \, \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \, ds$$

整理得，

$$-\iint_\Omega \left( T\Delta u + f \right) v \, dxdy + \int_\Gamma \left( T \frac{\partial u}{\partial n} - p \right) v \, ds = 0, \quad \forall\ v \in M_0 \tag{1}$$

由 $C_0^\infty(\Omega) \subset M_0$，取 $v \in C_0^\infty(\Omega)$，由 $v|_\Gamma = 0$，有边界积分为 $0$，

$$\iint_\Omega \left( T\Delta u + f \right) v \, dxdy = 0$$

由 $v$ 的任意性，结合 引理 得，

$$T\Delta u + f = 0, \quad \forall\ (x,y) \in \Omega$$

利用上式，代回 式(1)，

$$\int_\Gamma \left( T \frac{\partial u}{\partial n} - p \right) v \, ds = 0$$

再次使用 $v$ 的任意性，结合 引理 得，

$$T \frac{\partial u}{\partial n} = p, \quad \forall\ (x,y) \in \Gamma$$

若 $u \in C^2(\Omega) \cap C^1(\overline{\Omega})$ 是变分问题的解，则满足:

$$\begin{cases} -T\Delta u = f, & \text{in } \Omega \\ u = \varphi, & \text{on } \gamma \quad (\text{位移边界}) \\ T \dfrac{\partial u}{\partial n} = p, & \text{on } \Gamma \quad (\text{力边界}) \end{cases}$$

上述方程也称为是变分问题的 Euler方程的微分形式。