The best mathematician can notice analogies between theories.

本文最后更新于 2026年1月23日 晚上

教材：张恭庆、林源渠 《泛函分析讲义》
老师推荐的参考书：P.Lax 《Functional Analysis》
官网链接：PKU-泛函分析
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收敛

赋范空间 (X,∣∣⋅∣∣)(X, \left||\cdot |\right|)，有序列 {xn}⊂X,x0∈X\{ x_n \} \subset X, x_0 \in X，若有 lim⁡n∣∣xn−x0∣∣=0(n→∞)\lim\limits_n \left||x_n - x_0 |\right| = 0 (n \rightarrow \infty)，则称 xn→x0x_n \rightarrow x_0。

度量空间 (X,ρ)(X, \rho)，有序列 {xn}⊂X,x0∈X\{ x_n \} \subset X, x_0 \in X，若有 lim⁡nρ(xn,x0)=0(n→∞)\lim\limits_n \rho(x_n, x_0) = 0 (n \rightarrow \infty)，则称 xn→x0x_n \rightarrow x_0。

定义 lim⁡nxn=x0⇔xn→x0\lim\limits_n x_n = x_0 \Leftrightarrow x_n \rightarrow x_0。

在 T2T2 空间 ( Hausdorff\textrm{Hausdorff} 空间 ) 成立：lim⁡xn=x0,lim⁡xn=x0′⇒x0=x0′\lim x_n = x_0, \lim x_n = x_0' \Rightarrow x_0 = x_0'

E 闭集 ⇔\Leftrightarrow ∀{xn}∈E,xn→x0,则x0∈E\forall \{ x_n \} \in E, x_n \rightarrow x_0, 则 x_0 \in E。

例子

X=Kn,x=(x1,⋯ ,xn),xi∈KX = \mathbb{K}^n, x = (x_1, \cdots, x_n), x_i \in \mathbb{K}

∣∣x∣∣p=(∑i=1n∣xi∣p)1p,1⩽p<∞\left||x|\right|_p = (\sum_{i=1}^n |x_i| ^p)^{\frac{1}{p}}, 1 \leqslant p < \infty；∣∣x∣∣∞=max⁡1⩽i⩽n∣xi∣\left||x|\right|_\infty = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |x_i|

（不写 p 就默认 p=2p = 2，表示 2-范数、欧氏范数）

证明：(Kn,∣∣⋅∣∣p)(\mathbb{K}^n, \left||\cdot |\right|_p) 是赋范空间：

  1. ∣∣x∣∣p=0⇔x=0\left||x|\right|_p = 0 \Leftrightarrow x = 0
  2. ∣∣αx∣∣p=∣α∣∣∣x∣∣p\left|| \alpha x|\right|_p = |\alpha| \left||x|\right|_p
  3. ∣∣x+y∣∣p⩽∣∣x∣∣p+∣∣y∣∣p\left||x + y|\right|_p \leqslant \left||x|\right|_p + \left||y|\right|_p

对于3，p=1,∞p = 1,\infty 时成立。当 p>1p > 1 时，有

∑∣xi+yi∣p⩽∑∣xi+yi∣p−1∣xi+yi∣⩽\sum |x_i + y_i|^p \leqslant \sum |x_i + y_i|^{p-1} |x_i + y_i| \leqslant

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#数学
泛函分析-Lec-02
http://dbqdss.github.io/2024/08/08/个人学习笔记/Math Notes/泛函分析-PKU/泛函分析-Lec-02/
作者
失去理想的獾
发布于
2024年8月8日
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