泛函分析-Lec-01

教材：张恭庆、林源渠 《泛函分析讲义》
老师推荐的参考书：P.Lax 《Functional Analysis》
官网链接：PKU-泛函分析
B 站链接：PKU-泛函分析

研究内容： 线性的 $x,y$，以及线性的 $T:x \rightarrow y$
与线性代数的区别： dim $x$ = $\infty$，dim $y$ = $\infty$，无法用基和矩阵表示，要使用线性变换的观点。
准备知识： 数分、高代、实变、复变、一些拓扑

Banach 空间

线性空间

定义

线性空间

若 $X$ 非空：$\mathbb{K}$ 是数域，满足下面八条性质，则称 $X$ 为 $\mathbb{K}$ 上的 线性空间。

1. $X$ 对加法满足：对 $\forall$ $x,y \in X$，有：
   • 交换律：$x + y = y + x$
   • 结合律：$(x + y) + z = x + (y + z)$
   • 零元：0：$x + 0 = 0 + x = x$
   • 负元：$-x$：$x + (-x) = (-x) + x = 0$
2. $X$ 对数乘满足：对 $\forall$ $x, y \in X$，$\alpha,\beta \in \mathbb{K}$，有：
   • 数乘结合律：$(\alpha \cdot \beta) \cdot x = \alpha \cdot (\beta \cdot x)$
   • 单位元：$1 \in \mathbb{K}$，$1 \cdot x = x$
   • 数乘分配律1：$(\alpha + \beta) x = \alpha x + \beta x$
   • 数乘分配律2：$\alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$

线性子空间

若 $E \subset X$，$\forall x,y \in E$，$\forall \alpha \in \mathbb{K}$，有：

1. $x + y \in E$
2. $\alpha \cdot x \in E$

则称 $E \subset X$ 是 $X$ 的 线性子空间。

线性子流形

若 $E \subset X$，$\forall x_0 \in E$，$\forall \alpha \in \mathbb{K}$，有：

$$E = x_0 + E_1 \triangleq \{ x + x_0 | x \in E_1 \} , \quad \text{其中 $ E_1 $ 是 $X$ 的线性子空间}$$

则称 $E \subset X$ 是 $X$ 的 线性子流形。

线性变换

设 $X,X_1$ 都是线性空间，$T: X \rightarrow X_1$ 是映射，若

$$T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty, \quad \forall x,y \in X, \forall \alpha,\beta \in \mathbb{K}$$

则称为 $T$ 是 $X$ 到 $X_1$ 的 线性变换，如果 $T$ 是双射，则称 $T$ 是一个线性同构。

线性相关

若存在一组不全为 0 的 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n \in \mathbb{K}$，$\forall x_1,x_2,\cdots,x_n \in X$，有：

$$\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i = 0$$

则称 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 线性相关。反之为线性无关。

基

若 $\{ x_\alpha | \alpha \in \Lambda \}$ 满足下两条性质，则称是 $X$ 中的一组基。

1. 若 $\forall x \in X$ ，$\forall \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \in \Lambda$, s.t. $x = \lambda_1 x_{\alpha_1} + \lambda_2 x_{\alpha_2} + \cdots + \lambda_n x_{\alpha_n}$
2. $\{ x_\alpha | \alpha \in \Lambda \}$ 中的元素线性无关

维数

设 $\{ x_\alpha | \alpha \in \Lambda \}$ 是基，则其元素个数为维数。如果一个空间不存在有限维的基，则称其为 无穷维空间。

线性包

设 $\Lambda$ 是一个指标集，$\{ x_\alpha | \alpha \in \Lambda \}$ 是 $X$ 中的向量族，一切由 $\{ x_\alpha | \alpha \in \Lambda \}$ 的有穷线性组合组成的集合：

$$\{ y = a_1 x_{\alpha_1} + \cdots + a_n x_{\alpha_n} | \alpha_1 \in \Lambda, i = l , 2, \cdots, n \}$$

是 $X$ 的线性包，也是包含 $\{ x_\alpha | \alpha \in \Lambda \}$ 的一切线性子空间的交．因此称线性包为 $\{ x_\alpha | \alpha \in \Lambda \}$ 张成的线性子空间，记为span $\{ x_\alpha | \alpha \in \Lambda \}$。

线性和与直和

设 $E_1 ,E_2$ 是 $X$ 的子空间，则称集合 $\{ x + y | x \in E_1, y \in E_2\}$，为 $E_1$ 与 $E_2$ 的线性和，记为 $E_1+E_2$，如果 $E_1 \cup E_2 = \{ \vec{0} \}$，则称 $E_1+E_2$ 为 $X$ 的 直和，记为 $E_1 \oplus E_2$，此时 $E_1 \oplus E_2$ 在 $E_1,E_2$ 中有唯一分解。

例题

例1

$\mathbb{K}^n = \{ (x_1,\cdots,x_n) | x_i \in \mathbb{K} \}$，$x = (x_1,\cdots,x_n)$，$y = (y_1,\cdots,y_n)$。

定义加法：$x+y = (x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n)$
定义数乘：$\alpha x = (\alpha x_1,\cdots,\alpha x_n)$

则 $(\mathbb{K}^n,+,\cdot)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，dim $\mathbb{K}^n = n$。

存在一组基： $e_1 = (1,0,\cdots,0), e_2 = (0,1,\cdots,0), \cdots, e_n = (0,\cdots,0,1)$。

例2

$X = \{ p(x) | p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n, x \in \mathbb{R} \}$，$a_0,a_1,\cdots,a_n \in \mathbb{K}$。

则 $X$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，dim $X = \infty$。

存在一组基：$\{ 1,x,x^2,\cdots,x^n,\cdots \}$

例3

$X = C[a,b] = \{ [a,b] \text{上的连续函数} \}$，$u,v \in X$，

定义加法：$(u+v)(x) = u(x) + v(x)$，数乘：$(\alpha u)(x) = \alpha u(x)$，

则 $X$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，dim $X = \infty$。

为何是无穷维？

Proof：$P = \{ p(x) | p \text{是多项式} \} \subset X = C[a,b]$

如何找出一组基？

需要使用 Zorn 引理（后续会再提到）

范数与度量

设 $X$ 是线性空间。

定义

范数

$\left\| \cdot \right\|: X \rightarrow [0,\infty)$ 若满足以下 3 条，则称为是 $X$ 上的范数，称 $(X, \left\| \cdot \right\|)$ 为 $X$ 上的赋范空间。

1. 正定性：$\left\| x \right\| \geq 0, \quad \forall x \in X$ 且 $\left\| x \right\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$
2. 齐次性：$\left\| \alpha x \right\| = |\alpha| \cdot \left\| x \right\|, \quad \forall \alpha \in \mathbb{K}, x \in X$
3. 三角不等式：$\left\| x + y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\|, \quad \forall x,y \in X$

度量空间

$\rho: X \times X \rightarrow [0,\infty)$ 若满足以下 3 条，则称为 $\rho$ 为 $X$ 上的度量，称 $(X, \rho)$ 为 $X$ 上的度量空间，度量空间是特殊的拓扑空间。

1. 正定性：$\rho(x,y) \geq 0, \quad \forall x,y \in X$ 且 $\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
2. 对称性：$\rho(x,y) = \rho(y,x), \quad \forall x,y \in X$
3. 三角不等式：$\rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y), \quad \forall x,y,z \in X$